| 1. | Curvature and torsion are the main invariants of an affine connection.
La courbure et la torsion sont les principaux invariants des connexions affines. |
| 2. | The main invariants of an affine connection are its torsion and its curvature.
Les principaux invariants d'une connexion affine sont sa courbure et sa torsion (en). |
| 3. | However, this approach does not explain the geometry behind affine connections nor how they acquired their name.
Cependant, cette approche n'explique pas l'aspect géométrique des connexions affines, ni d'ailleurs leur nom. |
| 4. | Affine connections can be defined within Cartan's general framework.
Voir aussi : Connexion de Cartan (en) Les connexions affines peuvent être définies dans le cadre général proposé par Cartan. |
| 5. | The second motivation for affine connections comes from the notion of a covariant derivative of vector fields.
L'autre motivation des connexions affines vient de la notion de dérivée covariante des champs de vecteurs. |
| 6. | If M is a surface in R3, it is easy to see that M has a natural affine connection.
Si M est une surface de R3, on voit facilement que M possède une connexion affine naturelle. |
| 7. | In this language, an affine connection is simply a covariant derivative or (linear) connection on the tangent bundle.
Dans ce langage, une connexion affine est simplement une dérivée covariante ou une connexion (linéaire) sur le fibré tangent. |
| 8. | An affine connection is called complete if the exponential map is well-defined at every point of the tangent bundle.
On dit qu'une connexion affine est complète si l'application exponentielle est définie en tout point du fibré tangent. |
| 9. | In the modern approach, this is closely related to the definition of affine connections on the frame bundle.
D'un point de vue moderne, cela est étroitement relié à la définition des connexions affines sur le fibré des repères. |
| 10. | This follows from the Picard–Lindelöf theorem, and allows for the definition of an exponential map associated to the affine connection.
Cela résulte du théorème de Cauchy-Lipschitz, et permet de définir une application exponentielle associée à la connexion affine. |
